首页 > 常识 >

抛物线的法线方程公式(圆锥曲线的光学性质)

100次浏览     发布时间:2024-08-20 08:05:39    

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P()为圆锥曲线(A、B、C不同时为零)上一定点,则在该点处的切线方程为:。(该方程与已知曲线方程本身相比,得到的规律就是通常所说的“替换法则”,可直接用此法则写出切线方程)。

该方程的推导,原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率,进而用点斜式写出切线方程,则在点P处的法线方程为

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中

事实上,设为抛物线上一点,则切线MT的方程可由替换法则,得,即,斜率为,于是得在点M处的法线方程为

,得法线与x轴的交点N的坐标为

所以

又焦半径

所以,从而得

当点M与顶点O重合时,法线为x轴,结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出,则,又故,从而得

也可以利用到角公式来证明

抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中

证明也不难,分别求出,然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中。仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

--END-

相关文章

热门文章

最新文章